世界杯预选赛亚洲区_高达世界杯 - fzxzyy.com

一、题目

$$I = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\ln (n+1)} (\sqrt[n]{n} – 1)$$

难度评级：

二、解析

已知：

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n} \Rightarrow \text{洛必达} \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1} = 0$$

于是：

$$\begin{aligned}I = & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\ln (n+1)} (\sqrt[n]{n} – 1) \\= & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\ln (n+1)} (e^{\frac{1}{n} \ln n} – 1) \\= & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\ln (n+1)} ( \frac{1}{n} \ln n) \\= & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \ln n }{\ln (n+1)} \\= & \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \ln n }{\ln n} = 1\end{aligned}$$

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